Grothendieck Group​

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​Floer Homology Language 

TANAKA Akio 

     

​Note3 

 Grothendieck Group​

​1​

Topological space     X​

All the sets of continuous families' isomorphic classes ofZ2 graded Hermitian vector bundle 

over X  KH(X)  ​

Set thatKH (X)  is divided by equivalence relation as homotopy     K(X)​

K(X) is called X's K-group.​

2​

Compact Haussdorff space    X ​

Set of  all the isomorphic classes of complex vector bundle over X     Vect(X)​

Vect(X) has structure of commutative semigroup by direct sum.​

ΦX : Vect(X) →K(X)​

3​

(Definition : Grothendieck Group)​

Commutative semigroup     S​

Commutative group     AS​

Homomorphism as semigroup  ΦA : S →AS    ​

Arbitrary module     R​

Arbitrary homomorphism     ΦR : S →R ​

Homomorphism      Ψ : AS→R    (1) ​

ΦR = ΨΦs    (2)​

(1) and (2) are uniquely existent.​

4​

If there exists Grothendieck group, it is unique.​

5​

(Theorem)​

When X is compact Hausdorff space, (K(X), ΦX ) is Vect(X)'s Grothendieck group.​

6​

(Identification)​

Language is identified with Vect(X). ​

Language is commutative by associative law.​

Word is identified with (K(X), ΦX ).​

Distance of word is identified with Hermitian vector bundle.​

​

<Addition>​

7​

Element of KH(X)     F​

Support of F     supp F​

​

supp F= ​

​

All the KH(X)'s subsets that support are compact       KC(X)​

8​

(Theorem)​

When X is locally compact Hausdorff,  arbitrary element F of KC(X) is globally expressed.​

9​

Manifold is locally compact Hausdorff.​

​​

[References]​

Distance Theory / Tokyo May 5, 2004​

Actual Language and Imaginary Language / Tokyo September 23, 2004​

Distance / Distance Theory Algebraically Supplemented / Tokyo Ocotber 26, 2007​

Finsler Manifold and Distance / Energy Distance Theory / Tokyo November 7, 2008​

Distance of Word / Complex Manifold Deformation Theory / Tokyo November 30, 2008​

​​

Tokyo May 30, 2009​

Sekinan Research Field of Language

Source:
https://writer.zoho.com/public/sekinan/FHLNote3GrothendieckGroup